درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- اگر دو تاس آبی و قرمز را با هم بیندازیم، همهٔ حالت‌های ممکن را می‌توان در جدول زیر مشاهده کرد. ابتدا این جدول را کامل کنید و از طریق اصل ضرب درستی تعداد کل حالت‌های موجود در جدول را بررسی کنید؛ سپس به سؤال‌ها پاسخ دهید:

طبق اصل ضرب:

کل حالت‌ها باید 36 تا باشد.
2- قطر آبی رنگ چه پیشامدی را نشان می‌دهد؟
پیشامد اینکه مجموع اعداد رو شده برابر 7 باشد.
3- خانه‌های مربوط به حالت‌هایی را که هر دو عدد رو شده زوج و هر دو عدد رو شده فردند هاشور بزنید؛ چه الگویی به دست می‌آید؟
خانه‌های هر ردیف به صورت یک در میان هاشور می‌خورد.
4- با توجّه به جدول، یک مسئله طرح کنید و پاسخ آن را توضیح دهید.
«در چند حالت مجموع اعداد رو شده تاس‌ها کمتر از 5 است؟» 6 حالت (1و3)(2و2)(1و2)(3و1)(2و1)(1و1)
5- با توجّه به جدول و قطرهای آن، تعداد حالت‌ها برای مجموع دو تاس، در چه اعدادی، برابر است؟ (راهنمایی: به عنوان مثال، تعداد حالت‌ها برای مجموع 5 و مجموع دو تاس 9 برابر است.)
مجموع 2 و 12- مجموع 3 و 11- مجموع 4 و 10- مجموع 5 و 9- مجموع 6 و 8

فرض کنید می‌خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیندازیم:
1- آیا می‌توانید نتیجهٔ حاصل را به صورت قطعی بیان کنید؟ خیر
2- آیا این پدیده یا آزمایش، تصادفی است؟ چرا؟
بله، زیرا با وجودی که می‌دانیم سکه یا رو می‌آید یا پشت و تاس هم به 6 حالت می‌نشیند، اما دقیقاً نمی‌دانیم کدام حالت اتفاق می‌افتد.
3- همهٔ حالت‌های ممکن را بنویسید (فضای نمونه‌ای را تشکیل دهید).

{(6 و پ)، (5 و پ)، (4 و پ)، (3 و پ)، (2 و پ)، (1 و پ)، (6 و ر)، (5 و ر)، (4 و ر)، (3 و ر)، (2 و ر)، (1 و ر)} $S =$

4- تعداد این حالت‌ها را با استفاده از اصل ضرب به دست آورید.

12 حالت = 6 حالت تاس $×$ 2 حالت سکه

5- جدول $2\times 6$ و $6\times 2$ مربوط به این آزمایش را رسم کنید.

6	5	4	3	2	1	تاس
						سکه
(6 و ر)	(5 و ر)	(4 و ر)	(3 و ر)	(2 و ر)	(1 و ر)	رو
(2 و پ)	(2 و پ)	(2 و پ)	(2 و پ)	(2 و پ)	(1 و پ)	پشت

1- با توجّه به فعالیت ابتدای این درس (انداختن دو تاس) هر یک از پیشامدهای زیر را تشکیل دهید و جاهای خالی را پرکنید.

$=\{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)\}$ پیشامد آنکه هر دو تاس فرد باشند$A =$
$=\{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)\}$ پیشامد آنکه مجموع دو تاس6 باشد$A =$
$=\{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}$ پیشامد آنکه تاس آبی مضرب 3 بیاید$A =$

الف) پیشامد اینکه «هر دو تاس فرد و مجموع آنها 6 باشد»

$(A\bigcap B)=\left\{ (1,5),(3,3),(5,1) \right\}\to n(A\bigcap B)=3$

ب) پیامد آنکه «هر دو تاس فرد یا مجموع دو تاس 6 باشد.»

$A\bigcup B=\{(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)\}$

پ) پیشامد آنکه $(A-C)$ رخ بدهد؛ یعنی «هر دو تاس فرد باشند آبی مضرب 3 نباشد» پس داریم:

$A-C=\{(1,1),(1,3)(1,5)(5,1)(5,3)(5,5)\}$

ت) پیشامد $(C-B)$ را توصیف کنید و آن را تشکیل دهید.
$C-B$ پیشامد آن است که تاس آبی مضرب 3 بیابید ولی مجموع دو تاس 6 نباشد.

$C-B=\{(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)\}$

ث) اگر پیشامد $D$ را «مجموع دو تاس، عدد 7 باشد» و پیشامد $E$ را «هر دو تاس زوج باشند» تعریف کنیم، آیا $D$ و $E$ ناسازگارند؟ چرا؟

$D=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$ 

$E=\{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)\}$ 

دو پیشامد $D$ و $E$ ناسازگارند زیرا $D\bigcap E=\phi $
2- تاسی را می‌اندازیم، روی فضای نمونه‌ای حاصل، پیشامدهای $A$ و $B$ و$C$ را طوری تعریف کنید که:
الف) $A$ و $B$ ناسازگار باشند.
$A$ پیشامد آمدن عدد زوج و $B$ پیشامد آمدن عدد فرد باشد.
ب) $A$ و $B$ و $C$ ناسازگار باشند.
$A$ پیشامد آمدن عدد مضرب 6، $B$ پیشامد آمدن عدد اول و $C$ پیشامد آمدن عددهای 1 و 4
پ) $(A\bigcap B)$ و $C$ ناسازگار باشند.
$A$ پیشامد آمدن عدد اول، $B$ پیشامد آمدن مضرب‌های عدد 2، $C$ پیشامد آمدن عددی که نه اول و نه مرکب است.

اگر $S$ فضای نمونه‌ای متناهی و ناتهی برای یک آزمایش تصادفی باشد و $A$ و $B$ پیشامدهایی در این فضا باشند، در این صورت:

$I)0\le P(A)\le 1$
$A\subseteq S\Rightarrow 0\le n(A)\le n(S)\Rightarrow \frac{0}{n(S)}\le \frac{n(A)}{n(S)}\le \frac{n(S)}{n(S)}\Rightarrow 0\le P(A)\le 1$ :زیرا
$II)P(\phi )=0\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}P(S)=1$ 
:زیرا
$ P(\phi )=\frac{n(\phi )}{n(S)}=\frac{0}{n(S)}=0\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}P(S)=\frac{n(S)}{n(S)}=1$ 

$III)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$

تقسیم طرفین بر $n(S)$  $n(A\bigcup{B})=n(A)+n(B)-n(A\bigcap{B})\to $ :زیرا

$\frac{n(A\bigcup B)}{n(S)}=\frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A\bigcap B)}{n(S)}$

$\Rightarrow P(A\bigcup{B})=P(A)+P(B)-P(A\bigcap{B})$

اگر $A'$ متمم پیشامد $A$ در فضای نمونه‌ایِ $S$ باشد، ($A$ و$A'$ ناسازگارند) نشان دهید.

$P(A)=1-P(A')$

$P(A\bigcup{A'})=P(S)=1$ می‌دانیم

 از طرفی
$P(A\bigcup A')=P(A)+P(A')\Rightarrow P(A)+P(A')=1\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   P(A)=1-P(A')  \\
   P(A')=1-P(A)  \\
\end{matrix} \right.$

1- هر یک از اعداد طبیعی و زوجِ کوچک‌تر از 11 را روی یک کارت می‌نویسیم و یکی از این کارت‌ها را به تصادف بر می‌داریم:
الف) فضای نمونه‌ای این آزمایش یا پدیدهٔ تصادفی را مشخص کنید.

$S=\{2,4,6,8,10\}$

ب) چه تعداد پیشامد تصادفی را روی این فضای نمونه‌ای می‌توان تعریف کرد؟
هر پیشامد تصادفی زیر مجموعه‌ای از $S=\{2,4,6,8,10\}$ است. چون $S$ دارای 5 عضو است پس دارای ${{2}^{5}}=32$ زیر مجموعه است. یعنی 32 پیشامد روی این فضای نمونه‌ای می‌توان تعریف کرد. زیرا هر عضو S دارای 2 حالت است. هر عضو می‌تواند در A باشد یا نباشد. بنابراین:

پ) پیشامد $A$ را که در آن «عدد روی کارت انتخاب شده بر 4 بخش پذیر باشد»، مشخص کنید.

$A=\{4,8\}$

2- فرض کنید $A$ و $B$ و$C$ سه پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند. هر یک از عبارت‌های توصیفی زیر را با نمودار ون نمایش دهید و هاشور بزنید.
الف) پیشامدهای $A$ و$C$ رخ بدهند؛ ولی $B$ رخ ندهد.

ب) فقط پیشامد $B$ رخ بدهد.

پ) پیشامد $B$ رخ بدهد و $C$ رخ ندهد.

3- هر یک از ارقام 1 تا 8 را روی یک کارت می‌نویسیم و آنها را در یک کیسه قرار می‌دهیم؛ سپس یک کارت به تصادف از کیسه خارج می‌کنیم. هر یک از پیشامدهای زیر را تعیین کنید:
الف) فضای نمونه‌ای و پیشامد $A$ که در آن «عدد روی کارت زوج».

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 
$A=\{2,4,6,8\}$ 

ب) پیشامد $B$ که در آن «عدد روی کارت اول باشد».

$B=\{2,3,5,7\}$ 
 

پ) پیشامد $C$ که در آن «عدد رو شده بزرگ‌تر از 2 باشد».

$C=\{3,4,5,6,7,8\}$ 

4- خانواده‌ای دارای 3 فرزند است. فضای نمونه‌ای مربوط به فرزندان این خانواده را و پیشامد آنکه حداقل یکی از فرزندان دختر باشد را مشخص کنید.

{(پ، پ، پ) و (د، پ، پ) و (پ، د، پ) و (پ، پ، د) و (د، د، پ) و (د، پ، د) و (پ، د، د) و (د، د، د)}$S =$

پیشامد آنکه حداقل یکی از فرزندان دختر باشد.

{(د، د، د) و (د، د، پ) و (د، پ، د) و (پ، د، د) و (پ، د، پ) و (د، پ، پ) و (پ، پ، د)}$A =$ 

5- سکه‌ای را به هوا می‌اندازیم. اگر پشت بیاید، یک تاس می‌اندازیم و اگر رو بیاید دو سکّهٔ دیگر را می‌اندازیم:
الف) فضای نمونه‌ای این آزمایش تصادفی را مشخص کنید.

{(پ، پ، ر) و (پ، ر، ر) و (ر، پ، ر) و (ر، ر، ر) و (6، پ) و (5، پ) و (4، پ) و (3، پ) و (2، پ) و (1، پ)}$S =$ 

ب) پیشامد آنکه «تاس زوج بیاید» را مشخص کنید.

{(6، پ) و (4، پ) و (2، پ)}$A =$ 

ب) پیشامد آنکه «حداقل 2 سکه رو بیاید» را مشخص کنید.

{(ر، پ، ر) و (پ، ر، ر) و (ر، ر، ر)}$B =$ 

6- می‌خواهیم از بین 3 دانش آموز کلاس دهم رشتهٔ ریاضی و 2 دانش آموز دهم رشتهٔ تجربی یک تیم دو نفرهٔ تنیس روی میز انتخاب کنیم. اگر این عمل به تصادف صورت پذیرد، چقدر احتمال دارد:
الف) هر دو نفر، از دانش آموزان کلاس دهم ریاضی باشند؟

$\begin{matrix}
   n(S)=\left( \begin{matrix}
   5  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=\frac{5!}{3!2!}=10  \\
   n(A)=\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=3  \\
\end{matrix}\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{10}$

ب) هر دو نفر، هم رشته باشند؟
هر دو رشته تجربی یا هر دو رشته ریاضی $=$ هر دو نفر هم رشته

$\Rightarrow n(A)=\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   2  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=3+1=4\to P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{10}$

پ) 1 نفر از رشتهٔ ریاضی و 1 نفر از رشتهٔ تجربی باشد؟

$\Rightarrow n(A)=\left( \begin{matrix}
   3  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   2  \\
   1  \\
\end{matrix} \right)=3\times 2=6\to P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{10}$

7- یک فروشگاه دو نوع کارت اعتباری $A$ و $B$ را می‌پذیرد. اگر 34 درصد از مشتریان کارت نوع $A$ $(P(A)=\frac{34}{100})$ و 62 درصد کارت نوع $B$ و 15 درصد هر دو کارت را همراه داشته باشند، چقدر احتمال دارد مشتریان با در اختیار داشتن حداقل یکی از این دو کارت از این فروشگاه خرید کنند؟

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)=\frac{34}{100}+\frac{62}{100}-\frac{15}{100}=\frac{81}{100}$

8- اگر 7 نفر که دو نفر آنها با هم برادرند، به تصادف در یک ردیف قرار بگیرند، چقدر احتمال دارد:
الف) دو برادر کنار یکدیگر نباشند؟
روش1: پیشامد اینکه دو برادر کنار هم باشند $A'=$     و پیشامد اینکه دو برادر کنار هم نباشند $A=$ 

$\left. \begin{matrix}
   n(S)=7!\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   n(A')=6!\times 2!\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   n(A)=n(S)-n(A')\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow n(A)=7!-6!\times 2!\Rightarrow P(A)=\frac{7!-6!\times 2!}{7!}=\frac{5040-1440}{5040}=\frac{3600}{5040}=\frac{5}{7}$

روش 2: (دو برادر کنار هم باشند)  $=1-P$ (دو برادر کنار هم نباشند) $P$

$=1-\frac{2\times 6!}{7!}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$

ب) یکی از آنها در ابتدای ردیف و دیگری در انتهای ردیف قرار بگیرند؟

$\left. \begin{matrix}
   1\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1  \\
   1\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow n(A)=2\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=240$ 
$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{240}{7!}=\frac{1}{21}$ 

9- اگر $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$  باشند و $A\subseteq B$، ثابت کنید، $P(A)\le P(B)$.

$A\subseteq B\Rightarrow n(A)\le n(B)\Rightarrow \frac{n(A)}{n(S)}\le \frac{n(B)}{n(S)}\Rightarrow P(A)\le P(B)$